ધારો કે f:[a, b] rightarrow R એવું છે કે f એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
કેમ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત છે અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે, તેથી $g(x)$ પણ $[a, b]$ પર સતત અને $(a

Vedclass · Accepted Answer

$(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(c)=f(c)$ થાય

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
કેમ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત છે અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે, તેથી $g(x)$ પણ $[a, b]$ પર સતત અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે.
આપેલ છે કે $f(a)=0$ અને $f(b)=0$, તેથી $g(a) = e^{-a} f(a) = 0$ અને $g(b) = e^{-b} f(b) = 0$ મળે છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ, $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g^{\prime}(c) = 0$ થાય.
હવે, $g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.
$g^{\prime}(c) = 0$ લેતા, આપણને $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$ મળે છે.
કેમ કે કોઈપણ $c$ માટે $e^{-c} 
eq 0$ છે, તેથી $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ અથવા $f^{\prime}(c) = f(c)$ સાબિત થાય છે.

ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એવું છે કે $f$ એ $(a, b)$ માં વિકલનીય છે, $x=a$ અને $x=b$ પર સતત છે, અને $f(a)=0=f(b)$ છે. તો:

Similar Questions

જો $f(x) = \sin^2 x + x \sin 2x \log x$ હોય,તો $f(x) = 0$ ને

જો $f(x)$ એ બે વાર વિકલનીય બહુપદી વિધેય હોય કે જેથી $f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9$ થાય,તો:

અંતરાલ $[a, b]$ માં વિધેય $f(x) = x^{2} - 4x - 3$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો,જ્યાં $a = 1$ અને $b = 4$ છે.

જો $f:[-5,5] \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય હોય અને જો $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય ન થતું હોય,તો સાબિત કરો કે $f(-5) \neq f(5).$

જો $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$ હોય, તો $f(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી કારણ કે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module