અંતરાલ $[a, b]$ માં વિધેય $f(x) = x^{2} - 4x - 3$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો,જ્યાં $a = 1$ અને $b = 4$ છે.

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{2} - 4x - 3$ છે.
$f(x)$ એ બહુપદી વિધેય હોવાથી,તે સંવૃત અંતરાલ $[1, 4]$ પર સતત છે અને વિવૃત અંતરાલ $(1, 4)$ પર વિકલનીય છે.
વિધેયનું વિકલિત $f'(x) = 2x - 4$ છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો શોધો:
$f(1) = (1)^{2} - 4(1) - 3 = 1 - 4 - 3 = -6$.
$f(4) = (4)^{2} - 4(4) - 3 = 16 - 16 - 3 = -3$.
મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c \in (1, 4)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{-3 - (-6)}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
હવે,$f'(c) = 1$ લેતા:
$2c - 4 = 1$.
$2c = 5$.
$c = \frac{5}{2} = 2.5$.
અહીં $2.5 \in (1, 4)$ હોવાથી,મધ્યકમાન પ્રમેય ચકાસાય છે.