જો $f(x) = \sin^2 x + x \sin 2x \log x$ હોય,તો $f(x) = 0$ ને

વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ એ $[1, 3]$ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે. $a$ અને $b$ ની કિંમતો શોધો.

જો વિધેય $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$, જે $[1, 3]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે, તે $c = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે રોલેના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે, તો

જો $[1, 3]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ એ $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે,તો:

ધારો કે $f:[1,3] \rightarrow R$ એ $[1,3]$ પર સતત અને $(1,3)$ પર વિકલનીય છે, જ્યાં $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2+4$ દરેક $x \in (1,3)$ માટે છે. તો:

ધારો કે $f$ અને $g$ એ $(-2, 2)$ પર બે વાર વિકલનીય યુગ્મ વિધેયો છે,જેથી $f(\frac{1}{4}) = 0, f(\frac{1}{2}) = 0, f(1) = 1$ અને $g(\frac{3}{4}) = 0, g(1) = 2$ થાય. તો $(-2, 2)$ માં $f(x)g''(x) + f'(x)g'(x) = 0$ ના ઉકેલોની ન્યૂનતમ સંખ્યા કેટલી થાય?