જો $[1, 3]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ એ $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ માટે રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે,તો:

જો $f(x) = x^\alpha \log x$ અને $f(0) = 0$ હોય,તો $\alpha$ ની કઈ કિંમત માટે $[0, 1]$ અંતરાલમાં રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય?

વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતા બહુપદી $g(x)$ માટે,$m_g$ એ $g(x)$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $S$ એ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદીઓનો ગણ છે જે $S = \{(x^2-1)^2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) : a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. બહુપદી $f$ માટે,$f'$ અને $f''$ અનુક્રમે તેના પ્રથમ અને દ્વિતીય ક્રમના વિકલિતો દર્શાવે છે. તો $(m_f + m_{f'})$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત,જ્યાં $f \in S$,કેટલી થાય?

દ્રીઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વીકારો જ્યાં $2a + 3b + 6c = 0$ અને $g(x) = a \frac{x^3}{3} + b \frac{x^2}{2} + cx$ લો.
વિધાન-$1$: દ્વિઘાત સમીકરણના $(0, 1)$ અંતરાલમાં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
વિધાન-$2$: $[0, 1]$ અંતરાલમાં વિધેય $g(x)$ માટે રોલનો પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય.

ધારો કે $f:[1,3] \rightarrow R$ એ $[1,3]$ પર સતત અને $(1,3)$ પર વિકલનીય છે, જ્યાં $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2+4$ દરેક $x \in (1,3)$ માટે છે. તો:

ધારો કે $f$ એ તમામ $x$ માટે વિકલનીય છે. જો $f(1) = -2$ અને $x \in [1, 6]$ માટે $f'(x) \ge 2$ હોય,તો