यदि a + b + c = 0 है,तो अंतराल (0, 1) में समी | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ है। हमें दिया गया है कि $a + b + c = 0$ है। $f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d

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कम से कम एक मूल

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(A) माना $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है। तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ है। हमें दिया गया है कि $a + b + c = 0$ है। $f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d$ का मान ज्ञात करें। $f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d$ का मान ज्ञात करें। चूंकि $a + b + c = 0$ है,इसलिए $f(1) = 0 + d = d$ है। अतः,$f(0) = f(1) = d$ है। चूंकि $f(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है। रोल के प्रमेय के अनुसार,$(0, 1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है। इसलिए,समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।

यदि $a + b + c = 0$ है,तो अंतराल $(0, 1)$ में समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के कितने मूल हैं?

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$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है

अंतराल $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ में फलन $f(x) = \log(\sin x)$ के लिए लैग्रेंज के मध्यमान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार $c$ का मान क्या होगा?

यदि फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है और $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a = $ ..............

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