यदि समान मुख्य अक्ष $2a$ वाले लेकिन परिवर्तनीय लघु अक्ष वाले कई दीर्घवृत्त खींचे जाएं,तो उनके नाभिलंब के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं जिन निश्चित बिंदुओं से होकर गुजरती हैं,वे हैं:

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{14} + \frac{y^2}{5} = 1$ के बिंदु $P(\theta)$ पर अभिलंब इसे पुन: बिंदु $Q(2\theta)$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो $\cos \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(h, 0)$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटती है। मान लीजिए कि $P$ और $Q$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाएं बिंदु $R$ पर मिलती हैं। यदि $\Delta(h)=$ त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल,$\Delta_1=\max _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ और $\Delta_2=\min _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ है,तो $\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1-8 \Delta_2=$

एक रेखा जिसका $y$-अंतःखंड $5$ है और जो दीर्घवृत्त $9x^2 + 16y^2 = 144$ के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु रखती है,का न्यूनतम संभव धनात्मक ढाल क्या है?

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं $(-3, 1)$ और $(2, -2)$ से होकर गुजरता है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ पर है और मुख्य अक्ष $X$-अक्ष पर स्थित है।

दीर्घवृत्त $(3x - 9)^2 + 9y^2 = (\sqrt{2}x + y + 1)^2$ की नाभियों के बीच की दूरी क्या है?