જો સમાન મુખ્ય અક્ષ $2a$ ધરાવતા પરંતુ ચલિત ગૌણ અક્ષ ધરાવતા ઘણા ઉપવલયો દોરવામાં આવે,તો તેમના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકો જે નિશ્ચિત બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે તે કયા છે?

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ પરનું એક બિંદુ,જ્યાં અભિલંબ રેખા $4x - 2y - 5 = 0$ ને સમાંતર હોય,તે છે

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ના કોઈપણ નાભિમાંથી તેના કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબના પાદનો બિંદુપથ નીચેનામાંથી કયા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

ધારો કે $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ એક ઉપવલય છે. ઉપવલયો $E_i$ એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે તેમના કેન્દ્રો અને ઉત્કેન્દ્રતા $E_1$ જેવી જ હોય,અને $E_i$ ની લઘુ અક્ષની લંબાઈ એ $E_{i+1}$ ની ગુરુ અક્ષની લંબાઈ જેટલી હોય $(i \geq 1)$. જો $A_i$ એ ઉપવલય $E_i$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $\frac{5}{\pi}\left(\sum_{i=1}^{\infty} A_i\right)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

જો ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm \sqrt{5}, 0)$ હોય અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{5}}{3}$ હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શું થાય?

જો $c \in \mathbb{R}$ એવું હોય કે રેખા $4x - y + c = 0$ એ ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 4$ ને સ્પર્શે છે,તો $c$ ના તમામ મૂલ્યો ધરાવતું સમીકરણ કયું છે?