જો $6.4 \times 10^{23} \ kg$ દળ ધરાવતા ગ્રહને એક એવા ગોળામાં સંકુચિત કરવામાં આવે કે જેથી તેની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $8 \times 10^4 \ m/s$ હોય,તો તે ગોળાની ત્રિજ્યા કેટલી હોવી જોઈએ ($km$ માં)? (ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક,$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$)

નીચે બે વિધાનો આપેલા છે: એકને વિધાન $A$ અને બીજાને કારણ $R$ તરીકે લેબલ કરવામાં આવ્યું છે.
વિધાન $A$: પૃથ્વીની સપાટી પરથી $m$ દળના પદાર્થને અનંત સુધી ફેંકવા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} mgR$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
કારણ $R$: જ્યારે પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી અનંત સુધી ફેંકવામાં આવે ત્યારે તેની મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય હોય છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો.

પૃથ્વીની સપાટી પરથી $1\, kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $11.2\, km/s$ છે. તો $100\, kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ કેટલો હશે?

પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ ઝડપના $50 \%$ જેટલી ઝડપે છોડવામાં આવેલા રોકેટ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ કેટલી હશે? ($R$ - પૃથ્વીની ત્રિજ્યા)

પૃથ્વીનું દળ $M_1$ અને ત્રિજ્યા $R_1$ છે,અને ચંદ્રનું દળ $M_2$ અને ત્રિજ્યા $R_2$ છે. તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. $M$ દળ ધરાવતા પદાર્થને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r/3$ અંતરે તેમને જોડતી રેખા પર મૂકવામાં આવે છે. આ $M$ દળના પદાર્થને અનંત સુધી પલાયન કરાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ કેટલી છે?

એક રોકેટને પૃથ્વી પરથી એવી રીતે લોન્ચ કરવાનું છે કે તે ક્યારેય પાછું ન આવે. જો $E$ એ રોકેટ લોન્ચર દ્વારા આપવામાં આવતી લઘુત્તમ ઉર્જા હોય,તો જો તે જ રોકેટને ચંદ્રની સપાટી પરથી લોન્ચ કરવાનું હોય તો લોન્ચર પાસે કેટલી લઘુત્તમ ઉર્જા હોવી જોઈએ? ધારો કે પૃથ્વી અને ચંદ્રની ઘનતા સમાન છે અને પૃથ્વીનું કદ ચંદ્રના કદ કરતાં $64$ ગણું છે.