જો પ્રદેશ {(x,y): y^2 le 4x, x + y le 1, x ge | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં પરવલય $y^2 = 4x$ અને રેખા $x + y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x = 1 - y$ ને $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:$y^2 = 4(1 -

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(B) આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં પરવલય $y^2 = 4x$ અને રેખા $x + y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x = 1 - y$ ને $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:$y^2 = 4(1 - y) \implies y^2 + 4y - 4 = 0$.દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.$y \ge 0$ હોવાથી,$y = 2\sqrt{2} - 2$. તેથી $x = 1 - y = 1 - (2\sqrt{2} - 2) = 3 - 2\sqrt{2}$.ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{3-2\sqrt{2}} 2\sqrt{x} dx + \int_{3-2\sqrt{2}}^{1} (1 - x) dx$ દ્વારા મળે છે.$= \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{3-2\sqrt{2}} + \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{3-2\sqrt{2}}^{1}$.$= \frac{4}{3} (3-2\sqrt{2})^{3/2} + \left( (1 - 1/2) - ((3-2\sqrt{2}) - \frac{(3-2\sqrt{2})^2}{2}) \right)$.અહીં $(3-2\sqrt{2}) = (\sqrt{2}-1)^2$ છે,તેથી $(3-2\sqrt{2})^{3/2} = (\sqrt{2}-1)^3 = 5\sqrt{2} - 7$.ક્ષેત્રફળ $= \frac{8}{3}\sqrt{2} - \frac{10}{3}$.આમ,$a = \frac{8}{3}$ અને $b = -\frac{10}{3}$.$a - b = \frac{8}{3} - (-\frac{10}{3}) = \frac{18}{3} = 6$.

જો પ્રદેશ $\{(x,y): y^2 \le 4x, x + y \le 1, x \ge 0, y \ge 0\}$ નું ક્ષેત્રફળ ($sq. units$ માં) $a\sqrt{2} + b$ હોય,તો $a - b$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વક્રો $y=x^{2}-1$ અને $y=1-x^{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

પરવલય $y=4x-x^2$ અને $3y=(x-4)^2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

જો $(\alpha, \beta)$ એ વક્ર $y=2x-x^2$ નું સ્થિર બિંદુ હોય,તો વક્રો $y=2^x, y=2x-x^2, x=0$ અને $x=\alpha$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

વક્ર $y=x^2+4$ અને રેખા $y=5x-2$ દ્વારા આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

પરવલયો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 8ay$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module