જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=1$ નું ક્ષેત્રફળ $20 \pi$ ચોરસ એકમ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha, \beta$ એ એકમના $4^{th}$ મૂળના બે વાસ્તવિક બીજ હોય અને $\gamma, \delta$ એ અન્ય બે બીજ હોય,તો શાંકવ $|z-\alpha|+|z-\beta|=4$ અને $|z-\gamma|+|z-\delta|=6$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો સરવાળો કેટલો થાય?

બિંદુ $(1, 1)$ માંથી ઉપવલય $S \equiv x^2 + 4y^2 - 2x + 8y + 1 = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. જો $m_1, m_2$ $(m_1 > m_2)$ આ સ્પર્શકોના ઢાળ હોય,તો આપેલ ઉપવલયના સંદર્ભમાં બિંદુ $P(m_1, m_2)$:

એક ઉપવલય $\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ જ્યાં $a > b$ એ $x$ અને $y$ અક્ષોને સ્પર્શે છે અને પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે. ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલયના બે નાભિઓ છે અને $O$ એ ઉગમબિંદુ છે જેથી $OF_1 < OF_2$. ધારો કે ત્રિકોણ $OF_1F_2$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OF_1F_2 = 120^{\circ}$ છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એક કણ લંબવૃત્ત $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$ પર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ગતિ કરે છે. જો કણ $(-8, 3)$ બિંદુએ લંબવૃત્ત છોડીને તે બિંદુએ સ્પર્શકની દિશામાં ગતિ કરે,તો તે કણ $Y$-અક્ષને કયા બિંદુએ છેદશે?

જે ઉપવલયની નાભિઓ $(-1, 0)$ અને $(7, 0)$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $1/2$ હોય,તે ઉપવલય પરના બિંદુનું પ્રચલ સ્વરૂપ :