यदि रेखाओं 2y^2 + 5xy - 3x^2 = 0 और x + y = k | vedclass

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Question

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $2y^2 + 5xy - 3x^2 = 0$ है,जिसे $3x^2 - 5xy - 2y^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। गुणनखंड करने पर: $3x^2 - 6xy + xy - 2y^2

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$1$

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(C) दी गई रेखाओं का युग्म $2y^2 + 5xy - 3x^2 = 0$ है,जिसे $3x^2 - 5xy - 2y^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। गुणनखंड करने पर: $3x^2 - 6xy + xy - 2y^2 = 0$ $\Rightarrow 3x(x - 2y) + y(x - 2y) = 0$ $\Rightarrow (x - 2y)(3x + y) = 0$. रेखाएँ $L_1: x - 2y = 0$ और $L_2: 3x + y = 0$ हैं। ये रेखाएँ मूलबिंदु $O(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। तीसरी रेखा $L_3: x + y = k$ है। $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x - 2y = 0$ और $x + y = k$ को हल करने पर $y = \frac{k}{3}$ और $x = \frac{2k}{3}$ प्राप्त होता है। अतः,$A = \left(\frac{2k}{3}, \frac{k}{3}ight)$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $3x + y = 0$ और $x + y = k$ को हल करने पर $x = -\frac{k}{2}$ और $y = \frac{3k}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$B = \left(-\frac{k}{2}, \frac{3k}{2}ight)$. $	riangle OAB$ का केंद्रक $G = \left(\frac{0 + \frac{2k}{3} - \frac{k}{2}}{3}, \frac{0 + \frac{k}{3} + \frac{3k}{2}}{3}ight) = \left(\frac{k}{18}, \frac{11k}{18}ight)$ है। दिया गया है कि $G = \left(\frac{1}{18}, \frac{11}{18}ight)$,इसलिए $\frac{k}{18} = \frac{1}{18} \Rightarrow k = 1$।

यदि रेखाओं $2y^2 + 5xy - 3x^2 = 0$ और $x + y = k$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक $\left(\frac{1}{18}, \frac{11}{18}\right)$ है,तो $k$ का मान $............$ है।

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