यदि $(1+a)^{n}$ के विस्तार में $a^{r-1}$,$a^{r}$ और $a^{r+1}$ के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $n^{2}-n(4r+1)+4r^{2}-2=0$.

(N/A) $(1+a)^{n}$ के विस्तार में $(r+1)$-वाँ पद $\binom{n}{r}a^{r}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$a^{r-1}$,$a^{r}$ और $a^{r+1}$ के गुणांक क्रमशः $\binom{n}{r-1}$,$\binom{n}{r}$ और $\binom{n}{r+1}$ हैं।
चूंकि ये गुणांक समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r+1} = 2\binom{n}{r}$ होगा।
द्विपद गुणांकों का विस्तार करने पर:
$\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!} + \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!} = 2 \times \frac{n!}{r!(n-r)!}$
दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने और $(r+1)!(n-r+1)!$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r^{2}+r + n^{2}-2nr+r^{2}+n = 2(nr-r^{2}+r+n-r+1)$
$n^{2} - 4nr - n + 4r^{2} - 2 = 0$
$n^{2} - n(4r+1) + 4r^{2} - 2 = 0$.