यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है जैसे कि n ge 3,त | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} (n-r)$ है।इसे $S = n \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} - \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r r \

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$0$

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(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} (n-r)$ है।इसे $S = n \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} - \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r r \binom{n-1}{r}$ के रूप में लिखा जा सकता है।पहले भाग के लिए,$\sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} = (1-1)^{n-1} = 0$ होता है,जहाँ $n \ge 2$ है।दूसरे भाग के लिए,$r \binom{n-1}{r} = (n-1) \binom{n-2}{r-1}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum_{r=1}^{n-1} (-1)^r (n-1) \binom{n-2}{r-1} = -(n-1) (1-1)^{n-2}$।$n > 2$ के लिए,$(1-1)^{n-2} = 0$,इसलिए योग $0$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $a_0 + a_2 + \ldots + a_{2n}$	$(I)$ $n \cdot 3^{n-1}$
$(B)$ $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}$	$(II)$ $n \cdot 3^n$
$(C)$ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$	$(III)$ $\frac{1}{2}(3^n + 1)$
	$(IV)$ $\frac{1}{2}(3^n - 1)$

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