જો ઉપવલય (ellipse) ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર તેના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ કરતા અડધું હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ અને $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, A < B$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો તેમના નાભિલંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{32}{\sqrt{3}}$ હોય,અને $E_1$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4$ હોય. જો $E_1$ અને $E_2$ એ $A, B, C$ અને $D$ માં મળે,તો ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ પરના બિંદુ $\left(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$ ના નાભિ અંતરો શોધો.

વિધાન $I$: ઉપવલય $4x^2+y^2-8x-4y+4=0$ ની નિયામિકાનું સમીકરણ $3y=6-4\sqrt{3}$ છે.
વિધાન $II$: ઉપવલય $x^2+4y^2-4x-8y+4=0$ ના નાભિલંબનું સમીકરણ $y=2+\sqrt{3}$ છે.
ઉપરનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?

રેખા $y=x+\lambda$ એ ઉપવલય $2x^{2}+3y^{2}=1$ ને સ્પર્શક છે. તો, $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $P(3, 4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પર દોરેલા સ્પર્શકો ઉપવલયને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શે છે. જે બિંદુનું બિંદુ $P$ થી અને રેખા $AB$ થી અંતર સમાન હોય,તે બિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.