(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0 द्वारा निरूपित रेख | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ है।इसे $(x - 2y)(x - 2y + k) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।अतः, दो रेखाएँ $L_1: x - 2y =

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$x - 2y = 0$ और $x - 2y + 3\sqrt{5} = 0$

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(A) दिया गया समीकरण $(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ है।इसे $(x - 2y)(x - 2y + k) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।अतः, दो रेखाएँ $L_1: x - 2y = 0$ और $L_2: x - 2y + k = 0$ हैं।दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।यहाँ, $a = 1$, $b = -2$, $c_1 = 0$, और $c_2 = k$ है।दिया गया है $d = 3$, इसलिए $3 = \frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}$।$3 = \frac{|-k|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{k}{\sqrt{5}}$ (चूँकि $k > 0$ है)।$k = 3\sqrt{5}$।$L_2$ के समीकरण में $k$ का मान रखने पर, हमें $x - 2y + 3\sqrt{5} = 0$ प्राप्त होता है।अतः, रेखाएँ $x - 2y = 0$ और $x - 2y + 3\sqrt{5} = 0$ हैं।

$(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच की दूरी $3$ इकाई है और $k > 0$ है, तो रेखाओं के समीकरण हैं:

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मान लीजिए कि रेखा $2x - 3y - 1 = 0$ वक्र $x^2 + 2xy + 5y^2 + 2x + 3y - 1 = 0$ को अलग-अलग बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $O$ मूल बिंदु है,तो $\cos \angle AOB =$

समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा निरूपित रेखाएँ मूलबिंदु से समान दूरी पर होंगी,यदि

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