यदि फलन f(x) = begin{cases} frac{1}{x} log_{e | vedclass

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Question

(A) यदि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $\lim_{x 	o 0^{-}} f(x) = \lim_{x 	o 0^{+}} f(x) = f(0) = k$ होना चाहिए।सबसे पहले,$RHL$ ज्ञात करते हैं:$\l

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(A) यदि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $\lim_{x 	o 0^{-}} f(x) = \lim_{x 	o 0^{+}} f(x) = f(0) = k$ होना चाहिए।सबसे पहले,$RHL$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o 0^{+}} f(x) = \lim_{x 	o 0^{+}} \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1} = \lim_{x 	o 0^{+}} \frac{\cos(2x) - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1}$.$\cos(2x) - 1 = -2\sin^{2} x$ का उपयोग करने पर:$\lim_{x 	o 0^{+}} \frac{-2\sin^{2} x}{\sqrt{x^{2}+1}-1} 	imes \frac{\sqrt{x^{2}+1}+1}{\sqrt{x^{2}+1}+1} = \lim_{x 	o 0^{+}} \frac{-2\sin^{2} x (\sqrt{x^{2}+1}+1)}{x^{2}} = -2(1)^{2}(1+1) = -4$.अतः,$k = -4$.अब,$LHL$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x 	o 0^{-}} f(x) = \lim_{x 	o 0^{-}} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+\frac{x}{a}}{1-\frac{x}{b}}ight) = \lim_{x 	o 0^{-}} \left[ \frac{\ln(1+\frac{x}{a})}{x} - \frac{\ln(1-\frac{x}{b})}{x} ight]$.$\lim_{u 	o 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर:$\frac{1}{a} - (-\frac{1}{b}) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.चूंकि $LHL = k$,इसलिए $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -4$.अंत में,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{k} = -4 + \frac{4}{-4} = -4 - 1 = -5$.

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin \pi x}{5x}, & x \ne 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ है। यदि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,तो $k =$

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{2}, & 0 \leqslant x < 1 \\ 1/2, & 1 \leqslant x < 2 \end{cases}$ और $g(x) = (2x + 1)(x - k) + 3$ जहाँ $0 \leqslant x < \infty$ है,तो $g(f(x))$,$x = 1$ पर सतत होगा यदि $k$ का मान है:

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} -2 \sin x & -\pi \leq x < -\pi/2 \\ a \sin x + b & -\pi/2 \leq x \leq \pi/2 \\ \cos x & \pi/2 < x \leq \pi \end{cases}$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ में सतत है,तो $(3a + 2b)^3$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \operatorname{sgn}((x^2 - kx + 6)(\sin x - 1/2))$ (जहाँ $k > 0$) के $(0, 6)$ में ठीक $4$ असंतत बिंदु हैं,तो $k$ का अधिकतम पूर्णांक मान क्या है?

फलन $f(x) = |x-2| + x$ है

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