यदि फलन f: R rightarrow R को f(x) = |x|(x - s | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = |x|(x - \sin x)$।चूंकि $f(-x) = |-x|(-x - \sin(-x)) = |x|(-x + \sin x) = -|x|(x - \sin x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।$x

Vedclass · Accepted Answer

$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x) = |x|(x - \sin x)$।चूंकि $f(-x) = |-x|(-x - \sin(-x)) = |x|(-x + \sin x) = -|x|(x - \sin x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = x^2 - x \sin x$। $x जैसे $x ightarrow \infty$,$f(x) = x^2(1 - \frac{\sin x}{x}) ightarrow \infty$। जैसे $x ightarrow -\infty$,$f(x) ightarrow -\infty$। चूंकि $f$ सतत है,इसलिए इसका परिसर $R$ है,अतः $f$ आच्छादक है।$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 2x - \sin x - x \cos x = x(1 - \cos x) + (x - \sin x)$। चूंकि $x > 0$ के लिए $x > \sin x$ और $1 - \cos x \geq 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।$x  0$ (विषम फलन की सममिति द्वारा)।चूंकि सभी $x 
eq 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है और $f$ सतत है,इसलिए $f$ पर $R$ निरंतर वर्धमान फलन है।अतः,$f$ एकैकी है।इसलिए,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

यदि फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = |x|(x - \sin x)$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?

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यदि $g \circ f$ आच्छादक (onto) है,तो क्या $f$ और $g$ दोनों का आच्छादक होना आवश्यक है?

मान लीजिए $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2}; & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2}; & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$। तो $f$ है:

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