यदि फलन $f: R \rightarrow R$ जो $f(x) = \begin{cases} \frac{a(1-\cos 2x)}{x^2}, & x < 0 \\ b, & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4+\sqrt{x}}-2}, & x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है और $x = 0$ पर सतत है, तो $a+b=$

मान लीजिए $f, g: R \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं जो $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ और $g(x) = x f(x)$ द्वारा परिभाषित हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: $(i)$ $f(x)$, $x = 0$ पर सतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। $(ii)$ $g(x)$, $x = 0$ पर अवकलनीय है, लेकिन $g'(x)$, $x = 0$ पर सतत नहीं है। तो, निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{e^{1/x} + 1}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$,तो

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{(8-2x)^{\frac{1}{3}} - 2}{3 - (243+5x)^{\frac{1}{5}}}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है, तो $k =$ है

मान लीजिए $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है और ${t}$ $t$ के भिन्नात्मक भाग को दर्शाता है। तो $\alpha$ का पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए फलन $f(x)=[1+x]+\frac{\alpha^{2[x]+\{x\}}+[x]-1}{2[x]+\{x\}}$ की $x=0$ पर वाम हस्त सीमा (left hand limit) $\alpha-\frac{4}{3}$ के बराबर है।

यदि फलन $f(x) = \frac{1 - \cos 4x}{8x^2}$ जहाँ $x \ne 0$ और $f(x) = k$ जहाँ $x = 0$ पर एक सतत फलन है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।