જો $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચાપની લંબાઈ $2r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચાપની લંબાઈ જેટલી હોય,તો પ્રથમ વર્તુળના અનુરૂપ વૃત્તાંશનો ખૂણો બીજા વર્તુળના અનુરૂપ વૃત્તાંશના ખૂણા કરતા બમણો હોય છે. શું આ વિધાન ખોટું છે? શા માટે?

(A) આ વિધાન સાચું છે,ખોટું નથી.
ધારો કે બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r$ અને $2r$ છે અને તેમના કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ છે.
આપેલ છે કે $C_1$ ના ચાપની લંબાઈ $l_1$ એ $C_2$ ના ચાપની લંબાઈ $l_2$ જેટલી છે,એટલે કે $l_1 = l_2 = l$.
ધારો કે $\theta_1$ એ $C_1$ ના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે અને $\theta_2$ એ $C_2$ ના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે.
ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R$ છે.
$C_1$ માટે: $l = \frac{\theta_1}{360^\circ} \times 2\pi r$ ........... $(i)$
$C_2$ માટે: $l = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 2\pi(2r) = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 4\pi r$ ........... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{\theta_1}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 4\pi r$
$\theta_1 = 2\theta_2$
આમ,પ્રથમ વર્તુળના વૃત્તાંશનો ખૂણો બીજા વર્તુળના વૃત્તાંશના ખૂણા કરતા બમણો છે. તેથી,આ વિધાન સાચું છે.