જો ઉપવલયની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ તેના નાભિઓ વચ્ચેના અંતરના અડધા જેટલી હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

એક ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b)$ ને અનુક્રમે $2a$ અને $2b$ પરિમાણ ધરાવતા લંબચોરસમાં અંતર્ગત કરવામાં આવ્યું છે. જો લંબચોરસના વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\tan^{-1}(4\sqrt{3})$ હોય,તો તે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એલિપ્સના સંગ્રહ $\{E_1, E_2, E_3, \ldots\}$ અને લંબચોરસના સંગ્રહ $\{R_1, R_2, R_3, \ldots\}$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરો:
$E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
$R_1$: $E_1$ માં અંતર્ગત,અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબચોરસ;
$E_n$: $R_{n-1}, n > 1$ માં અંતર્ગત સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબગોળ $\frac{x^2}{a_n^2} + \frac{y^2}{b_n^2} = 1$;
$R_n$: $E_n, n > 1$ માં અંતર્ગત,અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો સૌથી મોટા ક્ષેત્રફળ વાળો લંબચોરસ.
તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $E_{18}$ અને $E_{19}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન નથી
$(2)$ $E_9$ માં કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $\frac{\sqrt{5}}{32}$ છે
$(3)$ $E_9$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{1}{6}$ છે
$(4)$ $\sum_{n=1}^N (\text{area of } R_n) < 24$,દરેક ધન પૂર્ણાંક $N$ માટે

ઉપવલય $\frac{(x + y - 2)^2}{9} + \frac{(x - y)^2}{16} = 1$ નું કેન્દ્ર શોધો.

બિંદુ $(3, -2)$ આગળ ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ના કોઈપણ નાભિમાંથી તેના કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબના પાદનો બિંદુપથ નીચેનામાંથી કયા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?