એક ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b)$ ને અનુક્રમે $2a$ અને $2b$ પરિમાણ ધરાવતા લંબચોરસમાં અંતર્ગત કરવામાં આવ્યું છે. જો લંબચોરસના વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\tan^{-1}(4\sqrt{3})$ હોય,તો તે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ ના કેન્દ્ર પર છે. ધારો કે $C$ એ $E$ ના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ માંથી પસાર થાય છે જેથી વર્તુળ $C$ અને ઉપવલય $E$ ચાર બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $P$ એ આ ચાર બિંદુઓમાંથી એક છે. જો ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $30$ હોય અને $E$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $17$ હોય,તો $E$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ની જીવા $PQ$ તેના કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

$S=(-1, 1)$ એ નાભિ છે,$2x-3y+1=0$ એ $S$ ને અનુરૂપ નિયામિકા છે અને $\frac{1}{2}$ એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે. જો $(a, b)$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર હોય,તો $3a+2b=$

ધારો કે રેખા $y-x=1$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{1}=1$ ને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. તો ઉપવલયના કેન્દ્ર આગળ રેખાખંડ $AB$ દ્વારા બનતો ખૂણો કેટલો થાય?

ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો જેનો એક શિરોબિંદુ $(0, 7)$ છે અને અનુરૂપ નિયામિકા $y = 12$ છે.