यदि रेखा $lx + my = 1$ वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ की स्पर्श रेखा है,तो बिंदु $(l, m)$ का बिंदुपथ क्या है?

$\lambda$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ इस प्रकार गति करता है कि बिंदु $A$ और $B$ $\lambda$ त्रिज्या वाले एक वृत्त की परिधि पर रहते हैं। तब उस बिंदु का बिंदुपथ,जो रेखाखंड $AB$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या है

एक बिंदु इस प्रकार गति करता है कि $(1, -2)$ से उसकी दूरी,$(-3, 5)$ से उसकी दूरी की हमेशा दोगुनी रहती है। बिंदु का बिंदुपथ है:

माना $RS$ वृत्त $x^2+y^2=1$ का व्यास है,जहाँ $S$ बिंदु $(1,0)$ है। माना $P$ वृत्त पर एक चर बिंदु ($R$ और $S$ के अलावा) है और $S$ तथा $P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ बिंदु $Q$ पर मिलती हैं। $P$ पर वृत्त का अभिलंब $Q$ से होकर जाने वाली और $RS$ के समांतर रेखा को बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करता है। तो $E$ का बिंदुपथ निम्नलिखित में से किस बिंदु (बिंदुओं) से होकर गुजरता है?
$(A)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ $(B)$ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ $(C)$ $\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ $(D)$ $\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}\right)$

एक बिंदु इस प्रकार गति करता है कि बिंदु $(-1, 0)$ से उसकी दूरी,बिंदु $(0, 2)$ से उसकी दूरी की हमेशा तीन गुनी रहती है। बिंदु का बिंदुपथ है

उस त्रिभुज के केंद्रक के बिंदु पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $(a \cos k, a \sin k)$,$(b \sin k, -b \cos k)$ और $(1, 0)$ हैं,जहाँ $k$ एक प्राचल है।