જો વિધેય $f : \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ માટે,જે $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1-\sin^2 \theta & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1-\cos^2 \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2 \end{array}\right|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તેની ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતો અનુક્રમે $m$ અને $M$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(m, M)$ શું થાય?

ધારો કે $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $P = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$. ધારો કે $Q = \begin{bmatrix} x & y \\ z & 4 \end{bmatrix}$ અમુક શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x, y$,અને $z$ માટે છે,જેના માટે $2 \times 2$ શ્રેણિક $R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના તમામ ઘટકો શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેથી $QR = RP$ થાય. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $|Q-2I| = 0$
$(B)$ $|Q-6I| = 12$
$(C)$ $|Q-3I| = 15$
$(D)$ $yz = 2$

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$. જો $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5$ હોય,તો $f(A)$ શું થાય?

જો $\{-1, 0, 1\}$ ગણના ઘટકો ધરાવતા તમામ $3 \times 3$ શૂન્યતર શ્રેણિકોના ગણમાંથી એક શ્રેણિક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો તે શ્રેણિક વિસંમિત (skew-symmetric) હોય તેની સંભાવના કેટલી?

ધારો કે $P$ અને $Q$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે જેથી $P \neq Q$. જો $P^3 = Q^3$ અને $P^2Q = Q^2P$ હોય,તો નિશ્ચાયક $\det(P^2 + Q^2)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $X = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}$. વિધેય $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ ને $f(A) = \operatorname{det}(A), \forall A \in X$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. તો, $f$ એ