यदि दीर्घवृत्त $x^2+4y^2-4=0$ पर बिंदु $P(\frac{\pi}{4})$ पर खींचा गया अभिलंब दीर्घवृत्त को पुनः $Q(\alpha, \beta)$ पर मिलता है,तो $\alpha=$

$c$ के किस मान के लिए रेखा $y = 4x + c$ वक्र $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ को स्पर्श करती है? $c$ के संभावित मानों की संख्या ज्ञात कीजिए।

बिंदु $C(0, \lambda)$ से दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 4$ पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं,जो मुख्य अक्ष को $A$ और $B$ पर काटती हैं। यदि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल न्यूनतम है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $\theta$ की नाभि से दूरी क्या है?

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ पर स्थित बिंदु $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $\frac{7}{4}$ है। तो ऐसे दो दीर्घवृत्तों की उत्केंद्रताओं का निरपेक्ष अंतर (absolute difference) क्या है?

शांकव $36x^2 + 144y^2 - 36x - 96y - 119 = 0$ की उत्केंद्रता (eccentricity) है