यदि दीर्घवृत्त $3x^2 + 4y^2 = 12$ पर स्थित एक बिंदु $P$ पर अभिलंब,रेखा $2x + y = 4$ के समांतर है और $P$ पर स्पर्श रेखा $Q(4, 4)$ से होकर गुजरती है,तो $PQ$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक वृत्त $C$ का केंद्र दीर्घवृत्त $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ के केंद्र पर स्थित है। मान लीजिए कि $C$,$E$ की नाभियों $F_1$ और $F_2$ से होकर गुजरता है,जिससे वृत्त $C$ और दीर्घवृत्त $E$ चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए कि $P$ इन चार बिंदुओं में से एक है। यदि त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $30$ है और $E$ के दीर्घ अक्ष की लंबाई $17$ है,तो $E$ की नाभियों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:

$AB$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक चर जीवा है। यदि $AB$ मूलबिंदु $O$ पर समकोण अंतरित करती है, तो $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ का मान क्या होगा?

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ में अंतर्निहित अधिकतम क्षेत्रफल वाले आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $8 \sqrt{2}$ और $4 \sqrt{2}$ है,तो उस दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ की नाभियों को उसके लघु अक्ष के एक सिरे से मिलाने वाली रेखाएँ एक-दूसरे के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती हैं, तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या है?

माना $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a > b$ है। माना $E_{2}$ एक अन्य दीर्घवृत्त है जो $E_{1}$ के दीर्घ अक्ष के अंतिम बिंदुओं को स्पर्श करता है और $E_{2}$ की नाभियाँ $E_{1}$ के लघु अक्ष के अंतिम बिंदु हैं। यदि $E_{1}$ और $E_{2}$ की उत्केंद्रता $e$ समान है,तो $e$ का मान है: