माना E_{1}: frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^ | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।दीर्घवृत्त $E_{2}$ के लिए,ना

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$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Vedclass · Answer

(C) दीर्घवृत्त $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।दीर्घवृत्त $E_{2}$ के लिए,नाभियाँ $(0, b)$ और $(0, -b)$ हैं,इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त है जहाँ $c = b$ है। शीर्ष $(\pm a, 0)$ पर हैं,इसलिए अर्ध-दीर्घ अक्ष $A = a$ है। $E_{2}$ का समीकरण $\frac{x^{2}}{B^{2}} + \frac{y^{2}}{A^{2}} = 1$ है,जहाँ $A = a$ है। चूँकि $c^{2} = A^{2} - B^{2}$,हमारे पास $b^{2} = a^{2} - B^{2}$ है,अर्थात $B^{2} = a^{2} - b^{2}$ है।$E_{2}$ की उत्केंद्रता $e^{2} = 1 - \frac{B^{2}}{A^{2}} = 1 - \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।चूँकि दोनों दीर्घवृत्तों की उत्केंद्रता समान है,हमारे पास $e^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।पहले समीकरण से,$e^{2} = 1 - e^{2}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $2e^{2} = 1$,अर्थात $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$।लेकिन शर्त के अनुसार,$E_{2}$ की नाभियाँ $(0, b)$ और $(0, -b)$ हैं,इसलिए $c_{2} = b$ है। $E_{2}$ के शीर्ष $(\pm a, 0)$ हैं,इसलिए अर्ध-लघु अक्ष $a$ है। दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है,इसलिए $A_{2} = c_{2}/e = b/e$ है। संबंध $c_{2}^{2} = A_{2}^{2} - B_{2}^{2}$ से $b^{2} = (b/e)^{2} - a^{2}$ प्राप्त होता है।अतः $a^{2} = \frac{b^{2}}{e^{2}} - b^{2} = b^{2}(\frac{1-e^{2}}{e^{2}})$ है।चूँकि $1-e^{2} = b^{2}/a^{2}$ है,हमारे पास $a^{2} = b^{2}(\frac{b^{2}/a^{2}}{e^{2}}) = \frac{b^{4}}{a^{2}e^{2}}$ है,इसलिए $a^{4}e^{2} = b^{4}$,जिसका अर्थ है $a^{2}e = b^{2}$।$b^{2} = a^{2}e$ को $e^{2} = 1 - b^{2}/a^{2}$ में रखने पर,हमें $e^{2} = 1 - e$,या $e^{2} + e - 1 = 0$ प्राप्त होता है।$e > 0$ के लिए हल करने पर,हमें $e = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

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