ધારો કે E_{1}: frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ઉપવલય $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ છે.ઉપવલય $E_{2}$ માટે,નાભિઓ $(0, b)$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Vedclass · Answer

(C) ઉપવલય $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ છે.ઉપવલય $E_{2}$ માટે,નાભિઓ $(0, b)$ અને $(0, -b)$ છે,તેથી તે શિરોલંબ ઉપવલય છે જ્યાં $c = b$. શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ પર છે,તેથી અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $A = a$ છે. $E_{2}$ નું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{B^{2}} + \frac{y^{2}}{A^{2}} = 1$ છે,જ્યાં $A = a$. $c^{2} = A^{2} - B^{2}$ હોવાથી,$b^{2} = a^{2} - B^{2}$,એટલે કે $B^{2} = a^{2} - b^{2}$.$E_{2}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e^{2} = 1 - \frac{B^{2}}{A^{2}} = 1 - \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ છે.બંને ઉપવલયોની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન હોવાથી,$e^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ મળે છે.પ્રથમ સમીકરણમાંથી,$e^{2} = 1 - e^{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે $2e^{2} = 1$,એટલે કે $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.પરંતુ શરત મુજબ,$E_{2}$ ની નાભિઓ $(0, b)$ અને $(0, -b)$ છે,તેથી $c_{2} = b$. $E_{2}$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ છે,તેથી અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $a$ છે. મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $A_{2} = c_{2}/e = b/e$. સંબંધ $c_{2}^{2} = A_{2}^{2} - B_{2}^{2}$ પરથી $b^{2} = (b/e)^{2} - a^{2}$ મળે છે.આમ $a^{2} = \frac{b^{2}}{e^{2}} - b^{2} = b^{2}(\frac{1-e^{2}}{e^{2}})$.$1-e^{2} = b^{2}/a^{2}$ હોવાથી,$a^{2} = b^{2}(\frac{b^{2}/a^{2}}{e^{2}}) = \frac{b^{4}}{a^{2}e^{2}}$,તેથી $a^{4}e^{2} = b^{4}$,જેનો અર્થ છે $a^{2}e = b^{2}$.$b^{2} = a^{2}e$ ને $e^{2} = 1 - b^{2}/a^{2}$ માં મૂકતા,આપણને $e^{2} = 1 - e$,અથવા $e^{2} + e - 1 = 0$ મળે છે.$e > 0$ માટે ઉકેલતા,$e = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

Similar Questions

શંકુ $16x^2 + 7y^2 = 112$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

$9x^{2} + 16y^{2} = 144$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

$AB$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની એક ચલ જીવા છે. જો $AB$ ઉગમબિંદુ $O$ આગળ કાટખૂણો આંતરે, તો $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2}$ ની કિંમત શું થાય?

સમીકરણ $\frac{x^2}{2-r}+\frac{y^2}{r-5}+1=0$ એ ઉપવલય દર્શાવે છે જો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module