दीर्घवृत्त $3x^2 + 4y^2 = 48$ की नाभियों के बीच की दूरी है

उस दीर्घवृत्त (ellipse) का प्राचलिक रूप (parametric form) क्या होगा जिसकी नाभियाँ $(-1, 0)$ और $(7, 0)$ हैं और उत्केंद्रता (eccentricity) $1/2$ है?

दीर्घवृत्त $9x^2 + 4y^2 = 1$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई है

कथन $-1$: यदि एक बिंदु से एक दीर्घवृत्त (ellipse) पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं और यदि वे एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो उस बिंदु का बिंदुपथ हमेशा एक वृत्त होता है।
कथन $-2$: दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उस बिंदु का बिंदुपथ जहाँ से दो लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ पर,रेखा $2x - 3y + 25 = 0$ के सबसे निकटतम बिंदु $M$ है

मान लीजिए $A = \{(x, y) : y = mx + 1\}$,$B = \{(x, y) : x^2 + 4y^2 = 1\}$,और $C = \{(\alpha, \beta) : (\alpha, \beta) \in A \text{ और } (\alpha, \beta) \in B \text{ और } \alpha > 0\}$ है। यदि समुच्चय $C$ एक एकल समुच्चय (singleton set) है,तो $m$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?