ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 48$ ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે?

જો ઉપવલયનું નાભિ $(-1, -1)$ હોય,આ નાભિને અનુરૂપ નિયામિકાનું સમીકરણ $x + y + 1 = 0$ હોય અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોય,તો તેના પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ શોધો.

$l$ લંબાઈનો એક દાદર એક ઊભી દીવાલ અને રૂમના ભોંયતળિયા પર ટેકવેલો છે. ધારો કે $P$ એ દાદર પરનું એક બિંદુ છે,જે દીવાલ પરના તેના છેડાની નજીક છે અને તેની લંબાઈને $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. જો દાદર ભોંયતળિયા પર સરકવાનું શરૂ કરે,તો $P$ નો બિંદુપથ શું હશે?

જો રેખાઓ $2x - y + 3 = 0$ અને $4x + ky + 3 = 0$ એ ઉપવલય $5x^2 + 6y^2 - 15 = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી (conjugate) હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ પરના બિંદુઓ $A(\alpha)$ અને $B(\beta)$ ને જોડતી રેખા નાભિસ્થ જીવા (focal chord) હોય,તો $\cot \frac{\alpha}{2} \cdot \cot \frac{\beta}{2}$ ની એક શક્ય કિંમત કઈ છે?

સમીકરણ $\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} + \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 4$ શું દર્શાવે છે?