यदि समीकरण x^3-11x^2+36x-36=0 के मूल एक त्रिभ | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $x^3-11x^2+36x-36=0$ है। त्रिघातीय समीकरण का गुणनखंड करने पर, $(x-2)(x-3)(x-6)=0$ प्राप्त होता है। अतः, बहिःत्रिज्याएँ $r_1=2, r_2

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$12$

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(C) दिया गया समीकरण $x^3-11x^2+36x-36=0$ है। त्रिघातीय समीकरण का गुणनखंड करने पर, $(x-2)(x-3)(x-6)=0$ प्राप्त होता है। अतः, बहिःत्रिज्याएँ $r_1=2, r_2=3, r_3=6$ हैं। हम जानते हैं कि $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$। चूँकि $r = \frac{\Delta}{s} = 1$, इसलिए $\Delta = s$ है। $r_1 = \frac{s}{s-a} = 2$ का उपयोग करने पर, $s = 2s - 2a$, जिससे $2a = s$ प्राप्त होता है। $r_2 = \frac{s}{s-b} = 3$ का उपयोग करने पर, $s = 3s - 3b$, जिससे $3b = 2s$ प्राप्त होता है। $r_3 = \frac{s}{s-c} = 6$ का उपयोग करने पर, $s = 6s - 6c$, जिससे $6c = 5s$ प्राप्त होता है। चूँकि $s = \frac{a+b+c}{2}$, इसलिए $2s = a+b+c$ है। $a = \frac{s}{2}, b = \frac{2s}{3}, c = \frac{5s}{6}$ को $a+b+c = 2s$ में रखने पर: $\frac{s}{2} + \frac{2s}{3} + \frac{5s}{6} = \frac{3s+4s+5s}{6} = \frac{12s}{6} = 2s$। यह किसी भी $s$ के लिए सत्य है। परिमाप $2s$ ज्ञात करने के लिए, हम $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = s$ का उपयोग करते हैं। $\sqrt{s(s-\frac{s}{2})(s-\frac{2s}{3})(s-\frac{5s}{6})} = s$ $\Rightarrow \sqrt{s(\frac{s}{2})(\frac{s}{3})(\frac{s}{6})} = s$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{s^4}{36}} = s$ $\Rightarrow \frac{s^2}{6} = s$। चूँकि $s 
eq 0$, इसलिए $s = 6$ है। अतः, परिमाप $2s = 2(6) = 12$ है।

यदि समीकरण $x^3-11x^2+36x-36=0$ के मूल एक त्रिभुज $ABC$ की बहिःत्रिज्याएँ (ex-radii) हैं, तो त्रिभुज $ABC$ का परिमाप ज्ञात कीजिए।

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$I. r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$II. r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$
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