यदि रेखाओं $\frac{x+2}{2}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-5}{4}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+4}{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{38}{3 \sqrt{5}} k$ है और $\int_0^{k}\left[x^2\right] dx=\alpha-\sqrt{\alpha}$ है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो $6 \alpha^3$ का मान ............................ है।

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ और $\overrightarrow{r} = \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}), \mu \in R$ को दर्शाती हैं। यदि $L_3$ एक ऐसी रेखा है जो $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है और दोनों को काटती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प $L_3$ का वर्णन करता है?
$(1) \overrightarrow{r} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(2) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(3) \overrightarrow{r} = t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(4) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$

यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{k} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$ और $\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{k} = \frac{z-1}{2}$ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं,तो $k$ का पूर्णांक मान क्या है?

मान लीजिए कि रेखाओं $x+2=y-1=z$,$\frac{x-3}{5}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$ और $\frac{x}{-3}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{1}$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ है। तो $A^2$ का मान . . . . . . है।

मूल बिंदु से होकर जाने वाली उन दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{1}$ को $\frac{\pi}{3}$ के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

बिंदु $(1, -2, 5)$ से $(1, 2, 4)$ से गुजरने वाली और रेखा $x + y - z = 0 = x - 2y + 3z - 5$ के समानांतर रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।