मूल बिंदु से होकर जाने वाली उन दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{1}$ को $\frac{\pi}{3}$ के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(A) माना दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{1}=\lambda$ है।
इस रेखा पर कोई बिंदु $P(2\lambda+3, \lambda+3, \lambda)$ है।
रेखा के दिक्-अनुपात $(2, 1, 1)$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखाएं मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती हैं,इसलिए अभीष्ट रेखाओं के दिक्-अनुपात $(2\lambda+3, \lambda+3, \lambda)$ होंगे।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$।
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{|2(2\lambda+3) + 1(\lambda+3) + 1(\lambda)|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2} \sqrt{(2\lambda+3)^2 + (\lambda+3)^2 + \lambda^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|4\lambda+6+\lambda+3+\lambda|}{\sqrt{6} \sqrt{4\lambda^2+12\lambda+9 + \lambda^2+6\lambda+9 + \lambda^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|6\lambda+9|}{\sqrt{6} \sqrt{6\lambda^2+18\lambda+18}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{4} = \frac{(6\lambda+9)^2}{6(6\lambda^2+18\lambda+18)}$
$6(6\lambda^2+18\lambda+18) = 4(36\lambda^2+108\lambda+81)$
$36\lambda^2+108\lambda+108 = 144\lambda^2+432\lambda+324$
$108\lambda^2+324\lambda+216 = 0$
$108$ से भाग देने पर:
$\lambda^2+3\lambda+2 = 0 \Rightarrow (\lambda+1)(\lambda+2) = 0$।
अतः,$\lambda = -1$ या $\lambda = -2$।
$\lambda = -1$ के लिए,दिक्-अनुपात $(2(-1)+3, -1+3, -1) = (1, 2, -1)$ प्राप्त होते हैं।
$\lambda = -2$ के लिए,दिक्-अनुपात $(2(-2)+3, -2+3, -2) = (-1, 1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,रेखाओं के समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1}$ और $\frac{x}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ हैं।