यदि किसी $AP$ के प्रथम $7$ पदों का योग $49$ है और $17$ पदों का योग $289$ है,तो प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

दिया गया है कि,
$S_{7} = 49$
$S_{17} = 289$
$AP$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र: $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$n = 7$ के लिए:
$S_{7} = \frac{7}{2}[2a + (7 - 1)d] = 49$
$\frac{7}{2}(2a + 6d) = 49$
$7(a + 3d) = 49$
$a + 3d = 7$ $...(i)$
$n = 17$ के लिए:
$S_{17} = \frac{17}{2}[2a + (17 - 1)d] = 289$
$\frac{17}{2}(2a + 16d) = 289$
$17(a + 8d) = 289$
$a + 8d = 17$ $...(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 8d) - (a + 3d) = 17 - 7$
$5d = 10$
$d = 2$
$d = 2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a + 3(2) = 7$
$a + 6 = 7$
$a = 1$
अब,प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करते हैं:
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$S_{n} = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)(2)]$
$S_{n} = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2]$
$S_{n} = \frac{n}{2}(2n)$
$S_{n} = n^{2}$