यदि धनात्मक पदों वाली एक $G.P.$ के दूसरे,चौथे और छठे पदों का योग $21$ है और इसके आठवें,दसवें और बारहवें पदों का योग $15309$ है,तो इसके पहले नौ पदों का योग क्या है?

एक निर्माता का अनुमान है कि एक मशीन,जिसकी लागत $Rs. 15625$ है,का मूल्य हर साल $20\%$ की दर से कम हो जाएगा। $5$ वर्षों के अंत में अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए।

एक ऐसी $G.P.$ ज्ञात कीजिए जिसके प्रथम दो पदों का योग $-4$ है और पाँचवाँ पद तीसरे पद का $4$ गुना है.

यदि $|\alpha| < 1$ और $|\beta| < 1$ है,और $1 - \alpha + \alpha^2 - \alpha^3 + \dots \infty = s_1$ तथा $1 - \beta + \beta^2 - \beta^3 + \dots \infty = s_2$ है,तो $1 - \alpha\beta + \alpha^2\beta^2 - \alpha^3\beta^3 + \dots \infty$ का मान क्या होगा?

एक $G.P.$ के प्रथम तीन पदों का योग $S$ है और उनका गुणनफल $27$ है। तो ऐसे सभी $S$ किस अंतराल में स्थित हैं?

यदि $1+\sin x+\sin ^{2} x+\ldots$ अनंत तक $= 4+2 \sqrt{3}$,जहाँ $0 < x < \pi$ और $x \neq \frac{\pi}{2}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।