यदि समीकरण निकाय $2x + 3y - z = 0$,$x + ky - 2z = 0$ और $2x - y + z = 0$ का एक अशून्य (non-trivial) हल $(x, y, z)$ है,तो $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left|\begin{array}{ccc}x+2 & x+3 & x+5 \\ x+4 & x+6 & x+9 \\ x+8 & x+11 & x+15\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

वे $\theta, \lambda$ मान जिनके लिए निम्नलिखित समीकरणों $\sin \theta x - \cos \theta y + (\lambda + 1)z = 0$; $\cos \theta x + \sin \theta y - \lambda z = 0$; $\lambda x + (\lambda + 1)y + \cos \theta z = 0$ का एक अशून्य हल (non-trivial solution) है,हैं:

यदि $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{y_1}}&1\\{{x_2}}&{{y_2}}&1\\{{x_3}}&{{y_3}}&1\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}&1\\{{a_2}}&{{b_2}}&1\\{{a_3}}&{{b_3}}&1\end{array}} \right|$ है,तो $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ और $(a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3)$ शीर्षों वाले दो त्रिभुज कैसे होने चाहिए?

यदि $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x-1)x(x+1) \end{array}\right|$, तो $f(2012)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{bmatrix}$ है,तो सभी $\theta \in \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$ के लिए,$\det(A)$ किस अंतराल में स्थित है?