वे $\theta, \lambda$ मान जिनके लिए निम्नलिखित समीकरणों $\sin \theta x - \cos \theta y + (\lambda + 1)z = 0$; $\cos \theta x + \sin \theta y - \lambda z = 0$; $\lambda x + (\lambda + 1)y + \cos \theta z = 0$ का एक अशून्य हल (non-trivial solution) है,हैं:

  • A
    $\theta = n\pi, \lambda \in \mathbb{R} - \{0\}$
  • B
    $\theta = 2n\pi, \lambda \text{ कोई भी परिमेय संख्या है}$
  • C
    $\theta = (2n + 1)\pi, \lambda \in \mathbb{R}^+, n \in \mathbb{I}$
  • D
    $\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}, \lambda \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{I}$

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जब सारणिक $\left|\begin{array}{lll} 2014^{2014} & 2015^{2015} & 2016^{2016} \\ 2017^{2017} & 2018^{2018} & 2019^{2019} \\ 2020^{2020} & 2021^{2021} & 2022^{2022} \end{array}\right|$ को $5$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या है?

$\left|\begin{array}{ccc} \log e & \log e^2 & \log e^3 \\ \log e^2 & \log e^3 & \log e^4 \\ \log e^3 & \log e^4 & \log e^5 \end{array}\right| \text{ का मान ज्ञात कीजिए: }$

यदि आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 3 & \lambda + 2 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 5 & 10 \end{bmatrix}$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है,तो $\lambda = $

$\begin{aligned} & \text{यदि }\left|\begin{array}{ccc}n^2 & (n+1)^2 & (n+2)^2 \\ (n+1)^2 & (n+2)^2 & (n+3)^2 \\ (n+2)^2 & (n+3)^2 & (n+4)^2\end{array}\right|=\Delta \text{और } \\ & \left|\begin{array}{ccc}1 & -4 & 7 \\ -2 & 3 & -5 \\ 3 & x & -3\end{array}\right|=2 \Delta+1, \text{तो } x=\end{aligned}$

$\theta$ के मानों का एक समुच्चय जिसके लिए समीकरण निकाय $(\sin 3 \theta) x-y+z=0$,$(\cos 2 \theta) x+4 y+3 z=0, 2 x+7 y+7 z=0$ के गैर-तुच्छ (non-trivial) हल हैं,वह है

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