यदि समीकरण निकाय $3x + y + 4z = 3$, $2x + ay - z = -3$, $x + 2y + z = 4$ का कोई हल नहीं है, तो $a$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि रैखिक समीकरण निकाय
$-x+2y-9z=7$
$-x+3y-7z=9$
$-2x+y+5z=8$
$-3x+y+13z=\lambda$
का अद्वितीय हल $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ है। तो बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की समतल $2x-2y+z=\lambda$ से दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$ है। मान लीजिए $S = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \mid A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right\}$ है। $S$ की कार्डिनैलिटी क्या है?

यदि समीकरण निकाय $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 2 & -1 & 1 \\ 11 & -7 & p \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ q \end{bmatrix}$ के अनंत हल हैं,तो:

समीकरणों $x+y+z=3$, $x+2y+2z=6$ और $x+ay+3z=b$ के

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों के निकाय $4x + \lambda y + 2z = 0$,$2x - y + z = 0$,और $\mu x + 2y + 3z = 0$ (जहाँ $\lambda, \mu \in R$) का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?