જો લંબચોરસ અતિવલય $xy = c^2$ પરના કોઈ ચલ બિંદુએ સ્પર્શક અને અભિલંબ $x$-અક્ષ પર $a_1, a_2$ અને $y$-અક્ષ પર $b_1, b_2$ અંત:ખંડ કાપે,તો $(a_1a_2 + b_1b_2)$ ની કિંમત શું થાય?

અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ નો સ્પર્શક $x-$અક્ષને $P$ માં અને $y-$અક્ષને $Q$ માં મળે છે. રેખાઓ $PR$ અને $QR$ એવી રીતે દોરવામાં આવી છે કે જેથી $OPRQ$ એક લંબચોરસ બને (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે). તો $R$ એ કયા પર આવેલું છે?

જો રેખા $2x + \sqrt{6}y = 2$ એ અતિવલય $x^2 - 2y^2 = 4$ ને સ્પર્શતી હોય,તો સ્પર્શબિંદુના યામ શોધો.

જો $x-y=1$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ નો સ્પર્શક હોય,તો સ્પર્શબિંદુ શોધો.

એક બિંદુ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી બે બિંદુઓ $(8,0)$ અને $(-8,0)$ થી તેના અંતરનો તફાવત હંમેશા $4$ રહે છે. તો, તે બિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

જો એક અતિવલય (hyperbola) માટે અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈનો ગુણોત્તર $3:2$ હોય,તો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર અને બે નિયામિકાઓ વચ્ચેના અંતરનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?