જો વક્ર y = 1 - x^2 ને x = alpha આગળનો સ્પર્શ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $A_1$ એ $0 < x < 1$ માટે વક્ર $y = 1 - x^2$ અને અક્ષો વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ છે.$A_1 = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $A_1$ એ $0 $A_1 = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} ight]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$હવે,વક્ર $y = 1 - x^2$ માટે,$x = \alpha$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $y' = -2x$ છે. $x = \alpha$ આગળ,$y' = -2\alpha.$$(\alpha, 1 - \alpha^2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (1 - \alpha^2) = -2\alpha(x - \alpha)$ છે.$y - 1 + \alpha^2 = -2\alpha x + 2\alpha^2 \Rightarrow 2\alpha x + y = \alpha^2 + 1.$સ્પર્શક $x$-અક્ષને $P$ (જ્યાં $y=0$) અને $y$-અક્ષને $Q$ (જ્યાં $x=0$) માં મળે છે.$P = \left( \frac{\alpha^2 + 1}{2\alpha}, 0 ight)$ અને $Q = (0, \alpha^2 + 1).$ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} 	imes OP 	imes OQ = \frac{1}{2} 	imes \frac{\alpha^2 + 1}{2\alpha} 	imes (\alpha^2 + 1) = \frac{(\alpha^2 + 1)^2}{4\alpha}.$ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:$A' = \frac{1}{4} \left[ \frac{2(\alpha^2 + 1)(2\alpha)(\alpha) - (\alpha^2 + 1)^2(1)}{\alpha^2} ight] = \frac{(\alpha^2 + 1)(4\alpha^2 - \alpha^2 - 1)}{4\alpha^2} = \frac{(\alpha^2 + 1)(3\alpha^2 - 1)}{4\alpha^2}.$$A' = 0$ લેતા,આપણને $3\alpha^2 - 1 = 0 \Rightarrow \alpha^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે (કારણ કે $0 ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{(\frac{1}{3} + 1)^2}{4(\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{(\frac{4}{3})^2}{\frac{4}{\sqrt{3}}} = \frac{16}{9} 	imes \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{9} = \frac{4}{3\sqrt{3}}.$આપેલ છે કે $A = k A_1,$ તેથી $\frac{4}{3\sqrt{3}} = k 	imes \frac{2}{3}.$$k = \frac{4}{3\sqrt{3}} 	imes \frac{3}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}.$

Similar Questions

પરવલય $y^2=x$,સીધી રેખા $y=4$ અને $Y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

વક્ર $|y| + \frac{1}{2} = e^{-|x|}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

વક્ર $y = x^2 + 2$, $x$-અક્ષ, અને રેખાઓ $x = 1$ તથા $x = 2$ દ્વારા આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

વક્ર $y=\sin x$ દ્વારા $x=-\pi$ અને $x=\frac{3\pi}{2}$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module