यदि C_{0}+2 cdot C_{1}+3 cdot C_{2}+ldots+(n+ | vedclass

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Question

(A) हमें दिया गया योग $S = \sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = 576$ है।हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k} = (1+x)^{n}$ होता है।$x$ से गुणा करने पर,$

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$7$

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(A) हमें दिया गया योग $S = \sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = 576$ है।हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k} = (1+x)^{n}$ होता है।$x$ से गुणा करने पर,$\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k+1} = x(1+x)^{n}$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} x^{k} = (1+x)^{n} + nx(1+x)^{n-1}$।$x=1$ रखने पर,$\sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = (1+1)^{n} + n(1)(1+1)^{n-1} = 2^{n} + n \cdot 2^{n-1}$।यह $2^{n-1}(2+n) = 576$ में सरल हो जाता है।हम $576 = 64 	imes 9 = 2^{6} 	imes 9 = 2^{7-1}(7+2)$ लिख सकते हैं।$2^{n-1}(n+2) = 2^{7-1}(7+2)$ की तुलना करने पर,$n=7$ प्राप्त होता है।

यदि $C_{0}+2 \cdot C_{1}+3 \cdot C_{2}+\ldots+(n+1) \cdot C_{n}=576$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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