$[2x + \frac{1}{x}]^n$ के द्विपद गुणांकों का योग $256$ है। विस्तार में अचर पद है

यदि $(1+x)^n$ के विस्तार में $r^{\text{th}}$,$(r+1)^{\text{th}}$ और $(r+2)^{\text{th}}$ पदों के गुणांक $4:15:42$ के अनुपात में हैं,तो $n-r=$

$n! \left[ x - \left( \frac{^nC_0 + ^nC_1}{^nC_0} \right) \right] \left[ \frac{x}{2} - \left( \frac{^nC_1 + ^nC_2}{^nC_1} \right) \right] \dots \left[ \frac{x}{n} - \left( \frac{^nC_{n-1} + ^nC_n}{^nC_{n-1}} \right) \right]$ के विस्तार में $x^{n-6}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

वह अंतराल जिसमें $x$ स्थित होना चाहिए ताकि $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में सबसे बड़ा पद सबसे बड़ा गुणांक रखे,है

मान लीजिए $\alpha > 0, \beta > 0$ इस प्रकार हैं कि $\alpha^{3} + \beta^{2} = 4$ है। यदि $(\alpha x^{\frac{1}{9}} + \beta x^{-\frac{1}{6}})^{10}$ के द्विपद विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $10k$ है,तो $k$ का मान क्या है?

यदि $a^3 + b^6 = 2$ है,तो $(ax^{1/3} + bx^{-1/6})^9$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान क्या होगा,जहाँ $(a > 0, b > 0)$?