यदि सदिश vec{alpha}=hat{i}+a hat{j}+a^{2} hat | vedclass

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Question

(C) दिए गए सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \ b & b^{2} & 1+b^{3} \ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}ight|=0$ तीसरे स्तंभ

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$-1$

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(C) दिए गए सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \ b & b^{2} & 1+b^{3} \ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}ight|=0$ तीसरे स्तंभ को अलग करने पर: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| + \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & a^{3} \ b & b^{2} & b^{3} \ c & c^{2} & c^{3}\end{array}ight| = 0$ दूसरे सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| + abc \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| = 0$ $(1+abc) \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| = 0$ चूंकि $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ असमतलीय हैं, इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है। सारणिक $\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \ 1 & b & b^{2} \ 1 & c & c^{2}\end{array}ight|$ का मान शून्य नहीं है। अतः, $1+abc = 0$, जिसका अर्थ है कि $abc = -1$।

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मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x & 2x \\ \sin x & x & x \end{array} \right|$ है। तब,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{vmatrix} x^3-x & 2e^{2x} & \sin x^2 \\ \cos(2x) & x+x^2 & e^{-x} \\ \tan 3x & \ln(1-2x) & x^2+x+1 \end{vmatrix}$ है,तो $f'(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\Delta = \begin{vmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi & 0 \end{vmatrix}$. तो:

निम्नलिखित आव्यूह $A$ की कोटि (rank) ज्ञात कीजिए:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 2 & 9 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 10 & -3 \\ 1 & 11 & -1 & 9 \end{bmatrix}$

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