यदि तीन असमान शून्येतर वास्तविक संख्याएँ $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं और $b - c, c - a, a - b$ एक $H.P.$ में हैं,तो $a + b + c$ का मान किससे स्वतंत्र है?

मान लीजिए $S$ श्रेणी के पहले $9$ पदों का योग है: $(x+ka) + (x^2+(k+2)a) + (x^3+(k+4)a) + (x^4+(k+6)a) + \ldots$ जहाँ $a \neq 0$ और $x \neq 1$ है। यदि $S = \frac{x^{10}-x+45a(x-1)}{x-1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $3, 7, 11, 15, \ldots, 403$ और $2, 5, 8, 11, \ldots, 404$ दो समांतर श्रेणियाँ हैं। तो उनमें उभयनिष्ठ पदों का योग किसके बराबर है?

मान लीजिए $V_r$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ के प्रथम $r$ पदों का योग है,जिसका प्रथम पद $r$ है और सार्व अंतर $(2r-1)$ है। मान लीजिए $T_r = V_{r+1} - V_r - 2$ और $Q_r = T_{r+1} - T_r$ जहाँ $r = 1, 2, \ldots$
$1.$ योग $V_1 + V_2 + \ldots + V_n$ क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{12} n(n+1)(3n^2-n+1)$
$(B)$ $\frac{1}{12} n(n+1)(3n^2+n+2)$
$(C)$ $\frac{1}{2} n(2n^2-n+1)$
$(D)$ $\frac{1}{3}(2n^3-2n+3)$
$2.$ $T_r$ हमेशा क्या है?
$(A)$ एक विषम संख्या
$(B)$ एक सम संख्या
$(C)$ एक अभाज्य संख्या
$(D)$ एक भाज्य संख्या
$3.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ $5$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं
$(B)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ $6$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं
$(C)$ $Q_1, Q_2, Q_3, \ldots$ $11$ के सार्व अंतर के साथ $A.P.$ में हैं
$(D)$ $Q_1 = Q_2 = Q_3 = \ldots$

मान लीजिए $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_n = \frac{10^n}{n!}$ है,तो $n$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $a_n$ अधिकतम है।

मान लीजिए $3, 6, 9, 12, \ldots$ $78$ पदों तक और $5, 9, 13, 17, \ldots$ $59$ पदों तक दो श्रेणियाँ हैं। तो,दोनों श्रेणियों में उभयनिष्ठ पदों का योग किसके बराबर है?