જો બે જોડી સીધી રેખાઓના સંયુક્ત સમીકરણો $xy+4x-3y-12=0$ અને $xy-3x+4y-12=0$ એક ચોરસ બનાવે છે,તો તેના વિકર્ણોનું સંયુક્ત સમીકરણ શું છે?

ધારો કે $P$ એ $2x^2 - 5xy + 2y^2 + 6x - 3y = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓની જોડી છે. નીચેના સ્વતંત્ર વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(i)$ $\alpha$ એ રેખાઓની જોડી $P$ ના છેદબિંદુનો $x$-યામ છે.
(ii) $\beta$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $P$ ની રેખાઓ પૈકી એકનો ઢાળ છે.
(iii) $\gamma$ એ $P$ ના કોણીય દ્વિભાજકોની જોડીના સમીકરણમાં અચળ પદ છે.
તો,

જો $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ એ $4x^2-y^2=0$ અને $lx+my+n=0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર હોય,તો $l+m+n=$

જો $P$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\alpha$ નો ગણ હોય કે જેથી $(\alpha, 1)$ થી $3x^2+7xy+2y^2=0$ રેખાઓની જોડી પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{\sqrt{2}}{5}$ થાય,તો $P$ ના ઘટકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો રેખાઓ $x^2-4xy+y^2=0$ અને $x+y=10$ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુઓ ધરાવતી હોય,તો સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

જો રેખા $2x + by + 5 = 0$ એ રેખાઓની જોડી $ax^2 - 96bxy + ky^2 = 0$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે,તો $a + 3k =$