यदि हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल मुख्य मानों पर विचार करें,तो $\tan \left( \cos^{-1} \frac{1}{5\sqrt{2}} - \sin^{-1} \frac{4}{\sqrt{17}} \right)$ का मान क्या है?

यदि $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ एक $A.P.$ है जिसका सार्व अंतर $d$ है,तो $\tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{d}{1 + a_1 a_2} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{d}{1 + a_2 a_3} \right) + \dots + \tan^{-1} \left( \frac{d}{1 + a_{n-1} a_n} \right) \right] = $

$\cot ^{-1}\left(2 \cdot 1^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 2^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 3^{2}\right)+\ldots$ अनंत तक का मान ज्ञात कीजिए।

व्यंजक $\lfloor \tan^{-1} x - \tan^{-1} y \rfloor - \lfloor \sin^{-1} u - \sin^{-1} v \rfloor$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $\lfloor . \rfloor$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $x, y, u, v$ स्वतंत्र वास्तविक चर हैं।

मान लीजिए $E_1 = \{x \in R : x \neq 1 \text{ और } \frac{x}{x-1} > 0\}$ और $E_2 = \{x \in E_1 : \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1})) \text{ एक वास्तविक संख्या है}\}$. (यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\sin^{-1} x$ का मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में होता है)। मान लीजिए $f : E_1 \rightarrow R$ फलन $f(x) = \log_e(\frac{x}{x-1})$ द्वारा परिभाषित है और $g : E_2 \rightarrow R$ फलन $g(x) = \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1}))$ द्वारा परिभाषित है। $LIST I$ की वस्तुओं को $LIST II$ के साथ सुमेलित करें।

$\tan^{-1}\sqrt{x(x + 1)} + \sin^{-1}\sqrt{x^2 + x + 1} = \frac{\pi}{2}$ के वास्तविक हलों की संख्या है