cot ^{-1}left(2 cdot 1^{2}right)+cot ^{-1}lef | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=1}^{\infty} \cot ^{-1}(2r^2) = \sum_{r=1}^{\infty} 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2r^2}ight)$ है।हम $	an^{-1}$ के तर्क को इ

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$\frac{\pi}{4}$

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(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=1}^{\infty} \cot ^{-1}(2r^2) = \sum_{r=1}^{\infty} 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2r^2}ight)$ है।हम $	an^{-1}$ के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\frac{1}{2r^2} = \frac{2}{4r^2} = \frac{(2r+1)-(2r-1)}{1+(2r+1)(2r-1)}$.सूत्र $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करने पर:$S = \sum_{r=1}^{\infty} [	an^{-1}(2r+1) - 	an^{-1}(2r-1)]$.योग का विस्तार करने पर:$S = (	an^{-1} 3 - 	an^{-1} 1) + (	an^{-1} 5 - 	an^{-1} 3) + (	an^{-1} 7 - 	an^{-1} 5) + \dots$यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।$S = \lim_{n 	o \infty} [	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(1)]$.चूंकि $\lim_{n 	o \infty} 	an^{-1}(2n+1) = \frac{\pi}{2}$ और $	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,अतः $S = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

$\cot ^{-1}\left(2 \cdot 1^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 2^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 3^{2}\right)+\ldots$ अनंत तक का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \tan \left\{\sum_{r=1}^{n} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+r+r^{2}}\right)\right\}$ का मान .......... है।

यदि $\tan^{-1} (x^2 + 3|x|-4) = \tan^{-1} (4\pi + \sin^{-1}(\sin 14))$ है,तो $\cos^{-1}(\cos 3|x|)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \sec^{-1}\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)$ है,तो $x = \sqrt{3}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left[\sin \left(\tan ^{-1} \frac{3}{4}\right)\right]^{2}+\left[\sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)\right]^{2}=$

$\sec ^2(\tan ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = $ . . . . . . .

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