cot ^{-1}left(2 cdot 1^{2}right)+cot ^{-1}lef | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=1}^{\infty} \cot ^{-1}(2r^2) = \sum_{r=1}^{\infty} 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2r^2}ight)$ છે.આપણે $	an^{-1}$ ના પદને નીચ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=1}^{\infty} \cot ^{-1}(2r^2) = \sum_{r=1}^{\infty} 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2r^2}ight)$ છે.આપણે $	an^{-1}$ ના પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:$\frac{1}{2r^2} = \frac{2}{4r^2} = \frac{(2r+1)-(2r-1)}{1+(2r+1)(2r-1)}$.સૂત્ર $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \sum_{r=1}^{\infty} [	an^{-1}(2r+1) - 	an^{-1}(2r-1)]$.સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:$S = (	an^{-1} 3 - 	an^{-1} 1) + (	an^{-1} 5 - 	an^{-1} 3) + (	an^{-1} 7 - 	an^{-1} 5) + \dots$આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં તમામ મધ્યવર્તી પદો ઉડી જાય છે.$S = \lim_{n 	o \infty} [	an^{-1}(2n+1) - 	an^{-1}(1)]$.કારણ કે $\lim_{n 	o \infty} 	an^{-1}(2n+1) = \frac{\pi}{2}$ અને $	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,તેથી $S = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

$\cot ^{-1}\left(2 \cdot 1^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 2^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 3^{2}\right)+\ldots$ અનંત સુધીનું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

જો $u = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x} \right)$ અને $v = 2 \tan^{-1} x$ હોય,તો $\frac{du}{dv}$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = \cos^{-1}x + 2\cot^{-1}x - 2x^3 - 4x$ ની ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{2 a x}{a^2+x^2}\right)$ હોય,તો $\frac{d y}{d x}$ ની કિંમત શોધો.

જો ${\tan ^{ - 1}}x + {\cos ^{ - 1}}\frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = {\sin ^{ - 1}}\frac{3}{{\sqrt {10} }}$ અને $x$ તથા $y$ બંને ધન પૂર્ણાંકો હોય,તો $(x, y)$ ની શક્ય કિંમતો કઈ છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module