પૃથ્વીના બે વ્યાસાંત બિંદુઓ વચ્ચે એક સાંકડી ટનલની કલ્પના કરો. $m$ દળનો એક કણ આ ટનલમાં મુક્ત કરવામાં આવે છે. તેના દોલનનો આવર્તકાળ .......... છે.

પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $d$ સાથે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ માં થતો ફેરફાર નીચેનામાંથી કયા આલેખ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે? ($R =$ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા)

$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક મોટા સમાન ઘન ગોળાના કેન્દ્ર $O$ થી $2R$ અંતરે $m$ દળનો એક નાનો બિંદુવત પદાર્થ મૂકવામાં આવ્યો છે. $M$ ને કારણે $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1$ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મોટા ગોળામાંથી $R/3$ ત્રિજ્યાનો એક ગોળાકાર ભાગ દૂર કરવામાં આવે છે અને બાકી રહેલા ભાગને કારણે $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_2$ માલૂમ પડે છે. ગુણોત્તર $F_1: F_2$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?

સમાન ઘનતા અને $4$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક નક્કર ગોળો યામ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ $O$ પર કેન્દ્રિત છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A(-2, 0, 0)$ અને $B(2, 0, 0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા $1$ એકમ ત્રિજ્યાના બે સમાન ગોળાઓને નક્કર પદાર્થમાંથી બહાર કાઢી લેવામાં આવે છે,જેનાથી ગોળાકાર પોલાણ બને છે.

ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(a)$ સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતા મંગળ ગ્રહનો આવર્તકાળ,બુધ ગ્રહના આવર્તકાળ કરતા $8$ ગણો છે. જો સૂર્યથી બુધનું અંતર $5.79 \times 10^{10} \, m$ હોય,તો સૂર્યથી મંગળનું અંતર આશરે ....... છે.
$(b)$ જો પદાર્થનું પૃથ્વી પર દળ $m \, kg$ હોય,તો તે જ પદાર્થનું ચંદ્ર પર દળ ........... થાય.
$(c)$ પૃથ્વીની સપાટીથી ભૂ-સ્થિર ઉપગ્રહની ઊંચાઈ આશરે ........ છે.
$(d)$ $m_1 = m_2 = 1 \, kg$ દળવાળા બે પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર $1 \, mm$ હોય,તો તેમની વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય ........... થાય. $[G = 6.67 \times 10^{-11} \, SI \text{ એકમ}]$

પૃથ્વીની નજીક પરિભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ વેગ $(V_e)$,કક્ષીય વેગ $(V_0)$ કરતા કેટલા ગણો હોય છે?