એક અતિવલયમાં,જો અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ કરતા બમણી હોય,તો તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર ..... એકમ છે.

ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ બિંદુ $P(4, 1)$ માંથી અતિવલય $H: \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{16} = 1$ પર દોરેલા સ્પર્શકોના ઢાળ છે. જો $Q$ એવું બિંદુ હોય કે જ્યાંથી $H$ પર દોરેલા સ્પર્શકોના ઢાળ $|m_1|$ અને $|m_2|$ હોય અને તેઓ $x$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ $\alpha$ અને $\beta$ બનાવતા હોય,તો $\frac{(PQ)^2}{\alpha \beta}$ ની કિંમત $............$ છે.

જેના નાભિઓ $(6, 4)$ અને $(-4, 4)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 2$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

વક્રો $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ અને $x^2+y^2=16$ ને દોરી શકાય તેવા સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

અતિવલય $5 x^2-y^2=5$ ને $(2,8)$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શકો પૈકી એકનું સમીકરણ શોધો.

જો $\theta$ એ અતિવલયના કેન્દ્ર પર નાભિલંબ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો હોય,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ છે,તો $\sin \theta = $