एक पार्टी में,$12$ व्यक्तियों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित किया जाना है। यदि दो विशेष व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं,तो कुल व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?

$0, 2, 5, 7$ अंकों का उपयोग करके $1000$ से छोटी कितनी विषम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है)।

एक पुस्तकालय में एक पुस्तक की $a$ प्रतियाँ,दो पुस्तकों में से प्रत्येक की $b$ प्रतियाँ,तीन पुस्तकों में से प्रत्येक की $c$ प्रतियाँ और $d$ पुस्तकों की एकल प्रतियाँ हैं। इन पुस्तकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की कुल संख्या क्या है?

यदि $33!$,$2^n$ से विभाज्य है,जहाँ $n \in N$,तो $n$ के सभी संभावित मानों का योग क्या है?

एक प्रश्न पत्र दो भागों $A$ और $B$ में विभाजित है और प्रत्येक भाग में $5$ प्रश्न हैं। एक उम्मीदवार प्रत्येक भाग से कम से कम दो प्रश्न चुनकर $6$ प्रश्नों के उत्तर कितने तरीकों से दे सकता है?

$7$ पुरुषों और $6$ महिलाओं के समूह में से,$5$ व्यक्तियों की एक समिति बनानी है ताकि समिति में कम से कम $3$ पुरुष हों। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?